Články

Banány pre opicu

Banány pre opicu

Traja priatelia idú na trh na zadnej strane svojich mulov, aby si kúpili dávku banánov s úmyslom ju distribuovať nasledujúci deň.

V noci jeden z nich vstal, začal počítať banány a robil tri časti. Zobral jednu z nich a zvyšok nechal (dve ďalšie časti). Keď po dohode nechal banán, dal ho opici.

Krátko po tom, čo sa ďalší kráľ zobudil a odišiel spočítať banány, aby prevzal svoju tretiu časť. Po odobraní tejto čiastky a odchode z ďalších dvoch častí videl, že banán zostal a dal ho opici.

Nakoniec, skoro na úsvite, vstal tretí kráľ bez podozrenia, čo urobili jeho spoločníci, vzal tretinu zvyšných banánov a keď videl, že banán zostal, dal ho opici a išiel spať.

Nasledujúce ráno vstali a nikto sa nepriznal, čo robil predchádzajúcu noc, takže rozdelili banány, ktoré boli v tom čase, každý prevzal tretiu časť a nechal banán, ktorý dal opici.

Aký je najmenší možný počet banánov na uskutočnenie všetkých obchodov?

Riešenie

Definujeme nasledujúce hodnoty:

E: Celkový počet banánov (čo chceme zistiť).
D: Celkový počet banánov, ktoré zostane prvý priateľ pri obsadení noci
C: Celkový počet banánov, ktoré zostane druhý priateľ pri natáčaní noci
B: Celkový počet banánov, ktoré zostane tretí priateľ pri obsadení noci
A: Posledné obsadenie

Prvý priateľ distribuuje banány E - 1 do troch rovnakých častí a zostáva časťou, ktorú nazývame D, takže D = (E-1) / 3 a ponecháva 2 × D banány v hromade.

Druhý priateľ opakuje rovnakú operáciu s 2 × D-1 banánmi, keď dodáva opici banán. Rovnocenné s predchádzajúcim prípadom si vyžaduje, aby sme nazvali C = (2 × D - 1) / 3 a ponechali dve ďalšie časti, tj 2 × C.

Nakoniec posledný priateľ vytvorí nové obsadenie so zostávajúcimi banánmi mínus tie, ktoré dodávajú opici. Aby sme každú časť nazvali B = (2 × C - 1) / 3.

Nasledujúce ráno sú zvyšné banány mínus tie, ktoré sa dodávajú opici, rozdelené medzi tri. Nazývame každú časť A = (2 × B - 1) / 3

Ak dáme dohromady rovnice, máme nasledujúce:
(81 × A + 65) / 8 = E

Je to diofantínová rovnica, v ktorej sú jej riešenia celé čísla.

V tomto prípade je najnižší možný počet banánov, aby bolo možné uskutočniť všetky obchody, 79.

Týmto spôsobom:

- Ak odstránime banán z opice, prvý priateľ zobral 78: 3 = 26 banánov a 79 - 1 - 26 = 52 zostalo.
- Druhý priateľ po opätovnom odstránení banánov z opice vzal 51: 3 = 17 a 52 - 1 - 17 = 34 banánov zostalo.
- Tretí priateľ po doručení banánov opici vzal 33: 3 = 11 a nechal 34 - 1 - 11 = 22 banánov.
- takže ráno odovzdali opici banán a zvyšných 21 bolo rozdelených medzi tri, to znamená 7 banány.